Теорема Котельникова-Шеннона |
 |
Напомним определения понятий дискретизации и интерполяции.
Определение: Представление непрерывного (аналогового) сигнала x(t) дискретной
последовательностью отсчетов x(tk)=x(k t ∆ ) , по которым с заданной точностью можно
восстановить исходный непрерывный сигнал , называется дискретизацией на равномерной сетке.
Определение: Процесс восстановления дискретизированного сигнала называется
интерполяцией.
Допустим , у нас есть непрерывное изображение i(x,y) . После дискретизации мы получаем дискретное изображение I(xk,ym) . Затем интерполируем его и переходим к изображению i’(x,y).
Естественно возникает вопрос :
Как нужно проводить дискретизацию, чтобы не происходила потеря информации, т.е. при каких условиях исходное изображение i(x,y) совпадает с восстановленным i’(x,y)?
Ответ на этот вопрос может быть получен из теоремы Котельникова-Шеннона.
Теорема Котельникова-Шеннона.Напомним определения пространств L1 и L2 и норм в них.
Определение. Пространством L1(R) называется пространство комплекснозначных или
действительных функций , интегрируемых на множестве R.
Определение. Нормой элемента f в пространстве L1(R) называется величина
Определение. Пространством L2(R) называется пространство комплекснозначных или
действительных функций интегрируемых на множестве R с квадратом.
L2(R) – евклидово пространство, скалярное произведение для элементов f и g в нем вводится как 
Определение. Нормой элемента f в пространстве L2(R) называется величина
Преобразование Фурье F( γ ) функции f(t) определяется как
для всех ∈ γ R.
Обозначим через A(R) множество преобразований Фурье всех функций f, принадлежащих пространству L1(R).
Теорема. Пусть f∈L1(R) ∩ A(R) или f ∈L2(R). Предположим, даны константы T, Ω >0 такие что
F(γ ) равна 0 вне сегмента [-Ω,Ω] (1)
и
0<2TΩ ≤1. (2) Тогда
 (3)причем ряд сходится поточечно на R, если f ) R ( A ) R ( L1 ∩ ∈ , и ряд сходится
равномерно, если f ) R ( L2 ∈ .
Т.о., сигнал, описываемый непрерывной функцией времени f(t) с ограниченным спектром, полностью определяется своими значениями, отсчитанными через интервалы времени T=1/(2Ω), где Ω- ширина спектра сигнала.
Доказательство:
1) Пусть f ) R ( A ) R ( L1 ∩ ∈ .
Введем функцию G( γ)
Продолжим ее периодически с периодом 1/T на R. Тогда можем разложить G( γ ) в ряд Фурье, имеющий вид:
где
Из определения функции G( γ ) и из формулы обращения  следует, что  .
 -<по формуле обращения>
 -<по определению функции G( γ )>
 -<подставили выражение для ряда Фурье функции G( γ)>
 -<ряды Фурье интегрируемых функций можно интегрировать
почленно>
 -<получаем простым интегрированием>
 -<т.к. cn=Tf(nT), умножили и поделили на 2Ω> ,
ч.т.д.
2) Пусть f ∈L2(R).
В пространстве L2 теорема доказывается аналогично. Так же вводим функцию G( γ ), периодически продолжаем ее на R и раскладываем в ряд Фурье.
Заметим, что по определению преобразования Фурье в L2
 (5)
Введем функцию  .
Тогда ,
 (6)
Так как Sn-n-я частичная сумма ряда Фурье G, то
Используя это соотношение, (5) и (6), а также неравенство Гельдера и определение коэффициентов "Сn", получаем требуемое в теореме равенство.
Теорема доказана.
Замечания к теореме Котельникова-Шеннона .Замечание 1. Основой доказательств теоремы в пространствах L1 и L2 является возможность перехода от преобразования Фурье к рядам Фурье.
Замечание 2. Исследуем вопрос о том, можно ли ослабить условие (2) теоремы.
Приведенный ниже пример показывает, что этого сделать нельзя.
Допустим, константы T, Ω >0 удовлетворяют неравенству 2TΩ>1.
Возьмем функцию 
Ясно, что преобразование Фурье этой функции 
Следовательно, условие (1) выполнено.
Так как  , то правая часть формулы (3) 
Функции f и g не равны, так как обе непрерывны на R и f(0)=1, а g(0)=2TΩ>1.
Т.е. правая часть не равна левой части, что противоречит условию, следовательно предположение о том, что 2TΩ>1 не верно.
Итак, мы доказали, что, если функция f разложима в ряд Котельникова (3) и спектр ее равен нулю вне отрезка [-Ω,Ω], выполняется соотношение 0<2TΩ ≤1.
Замечание 3. В формуле (3) константу T обычно называют периодом дискретизации, последовательность {f(nT) : n∈Z} –последовательностью дискретизированных значений.
Частота 2Ω называется частотой Найквеста или частотой дискретизации. Это минимальная частота, с которой нужно посылать импульсы, чтобы не было потери информации.
T≡ 1/2Ω - масксимальный период дискретизации, т.е. максимальный приемлемый промежуток времени между передаваемыми импульсами.
Замечание 4. На практике восстановленная функция f0(t), как правило, не совпадает точно передаваемой функцией f(t). Ошибка обусловлена, например, тем, что спектр передаваемой функции f(t) обычно ограничен не резко. Это вытекает хотя бы из того факта, что все реальные сигналы ограничены во времени и , следовательно, имеют неограниченные строго спектры. Выбор интервалов отсчетов T>0 означает, что все спектральные составляющие спектра с частотами T max π = Ω > ω не передаются и не могут быть восстановлены.
Если 2TΩ>1, то исходная функция не может быть восстановлена, возникающий эффект
называется aliasing.
|
